KVHS Northeim 2025 : Astronomie - eine Reise durch Raum und Zeit

Überblick Bewegungsgleichungen

Links

- Wikipedia : Galileo Galilei
- Wikipedia : Beweungsgleichung
- Studyflix : Weg-Zeit-Diagramm
- Studyflix : Beschleunigung

Was sind Bewegungsgleichungen ?

Unter einer Bewegungsgleichung versteht man eine mathematische Gleichung, mit der man die räumliche und
zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems ermitteln kann, wenn man seinen Anfangszustand und
gegebenenfalls die auf das System wirkenden äusseren Einflüsse kennt.
In der Regel handelt es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Eine Bewegungsgleichung :
$\dfrac{d^2}{dt^2} s(t) + A \dfrac{d}{dt} s(t) + B s(t) = C$ mit - $A$ : Funktion $A$ beschreibt mathematisch das Verhalten der Bewegung einer Masse $m$ in
Abhängigkeit der Zeit $t$ :
- $$ bei gegeben Anfangsbedingungen
- Anfangsort $s_0 = s(t_0)$ und
- Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = v(t_0)$)

Herleitung "einfacher" Bewegungsgleichungen

Mathematische Physik:

- Grundlage: Newton2 : $\boxed{F=m \cdot a}$
- $\boxed{v = \dfrac{ds}{dt}}$ : Geschwindigkeit berechnet sich mit der ersten Ableitung des Ortes nach der Zeit.
- $\boxed{a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}}$ : Beschleunigung gleich erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit
und damit Beschleunigung gleich zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit.

Aufgaben zur Lösung einer Bewegungsgleichung
- Aufstellen der Bewegungsgleichung
- Läsen der Bewegungsgleichung

Beispiel: Freier Fall einer Masse im Schwerefeld der Erde
- Aufstellen aller Grössen und Anfangsbedingungen:
$g = 9.81 \dfrac{m}{s^2}$ : Erdbeschleunigung (Bekannt)
$s(t_0) = s_0$ : Anfangsort (bekannt)
$v(t_0) = v_0$ : Anfangsgeschwindigkeit (bekannt)
- Aufstellen der Bewegungsgleichung:
$\boxed{m \cdot a = \dfrac{d^2 s(t)}{dt^2}= m \cdot g}$
- Lösen der Bewegungsgleichung durch doppelte Integration:
$\boxed{s(t) = s_0 + v_0 t + \dfrac{g}{2}t^2}$
- Bewegung damit vollständig berechenbar und bestimmt!

Beispiel: Gleichförmige unbeschleunigte Bewegung

Annahme: Newton1 : $\boxed{a = 0 \Rightarrow F=m \cdot a = 0}$
Folgerung:
$a = 0 = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$
$\int\limits_0^t{0}dt = \int\limits_0^t{\dfrac{d^2s}{dt^2}dt}$
$0 = v(t) - v_0$
$v_0$ : bekannte Anfangsgeschwindigkeit in $[v_0] = \dfrac{m}{s}$
Beschleunigung null ⇒ Geschwindigkeit bleibt konstant :
$\boxed{a = 0}$ $\Rightarrow$ $\boxed{v(t) = v_0}$

$\int\limits_0^t{\dfrac{ds(t)}{dt}dt} = \int\limits_0^t{v_0 dt}$
$\int\limits_0^s{ds} = v_0 \int\limits_0^t{dt}$
$s(t) - s(t_0) = v_0 (t - t_0)$
$s_0$ : bekannter Anfangsort in $[s_0] = m$
Beschleunigung null ⇒ Weg wächst linear mit der Zeit :
$\boxed{a = 0}$ $\Rightarrow$ $\boxed{s(t) = s_0 + v_0 t}$
Ergebnis:
- Erfährt ein Körper keine Beschleunigung ($a=0$), so verbleibt er in Ruhe bzw. bewegt
sich gradlinig mit konstanter (Anfangs-)Richtung und (Anfangs-)Geschwindigkeit $v_0$.

Beschleunigung:null : lineares Weg-Zeit-Diagramm

Beschleunigung:null : Geschwindigkeit(const)-Zeit-Diagramm

Beispiel: Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Annahme: Newton1 : $\boxed{a, m = const \Rightarrow F = const}$
Folgerung:
$a = a_0 \Rightarrow a_0 = \dfrac{d^2s}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} \Rightarrow a_0 = \dfrac{dv}{dt}$
$\int\limits_0^t{a_0 dt} = a_0 \int\limits_0^t{ dt} =\int\limits_0^tdv$
$a_0 t = v(t) - v_0$
Beschleunigung konstant ⇒ Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit :
$\boxed{a = a_0 = const}$ $\Rightarrow$ $\boxed{v(t) = v_0 + a_0 t}$

$\int\limits_0^t{\dfrac{ds}{dt}dt} = \int\limits_0^t{(v_0 + a_0 t)dt}$
$\int\limits_0^s{ds} = \int\limits_0^t{v_0 dt} + \int\limits_0^t{a_0 t dt}$
$s(t) - s_0 = v_0 t + a_0 \dfrac{t^2}{2}$
Beschleunigung konstant ⇒ Weg wächst quadratisch mit der Zeit :
$\boxed{a = a_0 = const}$ $\Rightarrow$ $\boxed{s(t) = s_0 + v_0 t + \dfrac{a_0}{2}t^2}$

Beschleunigung:const : quadratisches Weg-Zeit-Diagramm

Beschleunigung:const : lineares Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Beispiel:
Im Schwerefeld der Erde wirkt ein konstante Erdbeschleunigung mit
$g=9.81\dfrac{m}{s^2}$ auf eine Probemasse $m$ :

Experiment:
- Messtabelle von Weg $s$ : $[s]=m$ und Zeit $t$ : $[t]=s$
- Abhängigkeit : $\boxed{s \propto t^2}$ : Weg proportional dem Quadrat der Zeit
- Beschleunigung entspricht Erdbeschleunigung: $\boxed{a = g = 9.81 \dfrac{m}{s^2}}$
Ergebnis:
- Gesetz : $\boxed{s(t) = \dfrac{g}{2} t^2}$ (eigentlich $\boxed{s(t) = s_0 + v_0 t + \dfrac{g}{2}t^2}$) wird mit Messung best&?uml;tigt!
- damit wächst beim freien Fall der zurückgelegte Weg $s$ quadratisch mit der Zeit $t$!
- Weg- und Geschwindigkeitsgesetz sind unabhängig von der Masse!

Beispiel: Experimentelle Herleitung des Freien-Fall-Gesetzes

- Erste Versuche dieser Art von Galileo Galilei (1590)
- Messung von Weg $s$ : $[s]=m$ und Zeit $t$ : $[t]=s$
- Abhängigkeit : $s \propto t^2$
- Gesetz : $\boxed{s = \dfrac{g}{2} t^2}$ (122) mit Erdbeschleunigung $g=9.81 \dfrac{m}{s^2}$
damit wächst beim freien Fall der zurückgelegte Weg $s$ quadratisch mit der Zeit $t$!

Beispiel: Theoretische Herleitung des Erdbeschleunigung

- Probemasse $m$ wird von der Erdenmasse $M=5.972 \cdot 10^{24}kg$ angezogen
- Abstand $m$ vom Erdmittelpunkt sind $R = 6371.2km = 6371200m$
- $G=6.6743 \cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2}$ : Gravitationskonstante
- Masse $m$ erfährt eine Beschleunigung: $F_m = m \cdot a$
- Zwischen Probemasse und erde gilt das Gravitationsgesetz $F_m = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$
- mit $R = r$ : $F_m = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{R^2}$
- Gleichsetzen: $F_m = m \cdot a = F_m = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{R^2}$
    $ma = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{R^2}$ $~~\Rightarrow~~ a = G \cdot \dfrac{M}{R^2} =: g$
    Die Beschleunigung $a$ der Masse $m$ zum Erdmittelpunkt ist NICHT von der Masse sondern
    nur von der Masse der Erde $M$, dem Erdradius $R$ und der Gravitationskonstanten $G$ abhängig!

- die Erdbeschleunigung berechnet sich mit $\boxed{g = G \cdot \dfrac{M}{R^2}}$ (123) :

$g = 6.6743 \cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot \dfrac{5.972 \cdot 10^{24}kg}{6371200^2 \cdot m^2} = 9.81 \cdot 10^{-13}\cdot 10^{-11} 10^{24}\dfrac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot \dfrac{kg}{ m^2}$
$g = 9.81 \dfrac{m^3 \cdot kg}{kg \cdot s^2 \cdot m^2} ~~\Rightarrow ~~ \boxed{g = 9.81 \dfrac{m}{s^2}}$ (124)

Damit wurde die Vorgabe oben theoretisch korrekt berechnet!